Extreme values of random or chaotic discretization steps - Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Accéder directement au contenu
Autre Publication Scientifique Année : 2012

Extreme values of random or chaotic discretization steps

Résumé

By sorting independent random variables and considering the difference between two consecutive order statistics, we get random variables, called steps or spacings, that are neither independent nor identically distributed. We characterize the probability distribution of the maximum value of these steps, in three ways : i/with an exact formula ; ii/with a simple and finite approximation whose error tends to be controlled ; iii/with asymptotic behavior when the number of random variables drawn (and therefore the number of steps) tends towards infinity. The whole approach can be applied to chaotic dynamical systems by replacing the distribution of random variables by the invariant measure of the attractor when it is set. The interest of such results is twofold. In practice, for example in the telecommunications domain, one can find a lower bound for the number of antennas needed in a phone network to cover an area. In theory, our results take place inside the extreme value theory extended to random variables that are neither independent nor identically distributed.
On ordonne des variables aléatoires et l'on considère l'écart entre deux statistiques d'ordre consécutives : on obtient ainsi des pas aléatoires qui ne sont ni indépendants ni identiquement distribués. Nous caractérisons la loi de probabilité du maximum de ces pas, de trois manières : i/avec une formule exacte ; ii/avec une approximation simple dont on tente de contrôler l'erreur ; iii/avec une expression asymptotique quand le nombre de tirages aléatoires (et donc de pas) tend vers l'infini. Toute la démarche peut également être faite dans le cadre de systèmes dynamiques en remplaçant la distribution des variables aléatoires par la mesure invariante de l'attracteur, lorsqu'elle est définie. L'intérêt de tels résultats est double. En pratique, par exemple dans le domaine des télécommunications, on peut trouver un minorant du nombre d'antennes nécessaires dans un réseau de téléphonie pour couvrir une zone. En théorie, nos résultats ont leur place au sein de la théorie des valeurs extrêmes, étendue à des variables qui ne sont ni indépendantes ni identiquement distribuées.
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Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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Dates et versions

hal-00706825 , version 1 (11-06-2012)

Identifiants

  • HAL Id : hal-00706825 , version 1

Citer

Matthieu Garcin, Dominique Guegan. Extreme values of random or chaotic discretization steps. 2012. ⟨hal-00706825⟩
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